Разложение многочленов на неприводимые множители над полем действительных чисел

Пусть $f(x) \in \mathbb{R}[x]$, $\deg f \geq 1$, тогда над $\mathbb{R}$ многочлен представим как произведение неприводимых множителей степени $1$ и $2$.

Пусть $\deg f = n$. Сначала рассмотрим $f$ над $\mathbb{C}$. Тогда по Основной теореме алгебры $f(x)$ имеет $n$ корней с учётом кратности. Обозначим их $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}$ и разложим $f(x)$: $$f(x) = a_{n}(x - c_{1})(x - c_{2})\dots (x - c_{n})$$ Где $a_{n}$ - старший коэффициент $f(x)$ Если все $c_{i} \in \mathbb{R}$, то дальше доказывать нечего. Пусть $c_{j}$ - чисто комплексный корень. По теореме о сопряжённых корнях, если $c$ - корень $f(x)$, то и $\bar{c}$ - корень. Перемножив, получаем: $$(x - c_{j})(x - \overline{c_{j}}) = x^{2} - c_{j}x - \overline{c_{j}}x + c_{j}\overline{c_{j}} = x^{2} - 2 \operatorname{Re} c_{j} \cdot x + |c_{j}|^{2}$$ А значит $(x - c_{j})(x - \overline{c_{j}}) \in \mathbb{R}[x]$. Причём над $\mathbb{R}$ он неприводим, так как у него чисто комплексные корни. Следовательно, у $f(x)$ в разложении на неприводимые все множители степени $1$ и $2$ и, действительно, из $\mathbb{R}[x]$ $\square$